Pensar los límites

Con la selección natural, nuestros cerebros se fueron haciendo cada vez más grandes y más complejos. Mayor cantidad de neuronas y mayor capacidad de conexiones implicaban saber resolver problemas cada vez más difíciles. Con el tiempo, las rutinas instintivas, ceñidas a problemas concretos, dieron paso a estrategias formales, abstractas, válidas para infinidad de problemas del mismo tipo. Con la escritura, el salto tuvo que ser muy grande. Las operaciones de cálculo, realizadas al principio con objetos físicos, pasaron a realizarse con pictogramas: representaciones de objetos y cantidades. Luego surgieron los símbolos, signos a los que de forma colectiva se atribuía un determinado significado, sin que hubiera conexión directa, figurativa, entre significante y significado. Más tarde vinieron las variables y constantes…

Así se fue configurando la racionalidad humana, tanto práctica como teórica. Llegó un momento, quizás con el descubrimiento de la aritmética y la geometría, en el que los seres humanos nos dimos cuenta de que las posibilidades del razonamiento y la solución de problemas eran infinitas, o muy grandes. Un optimismo que aumentó con el surgimiento de los sistemas deductivos, axiomáticos y formales. Ya Descartes expresa ese optimismo: si aplicamos correctamente el método, demostraremos todas las verdades. Pero los formalistas de finales del XIX y principios del XX fueron más allá. Con unas variables, unos operadores y unas reglas de inferencia podríamos obtener, a partir de unos axiomas, todos los teoremas de la matemática. La razón aparece como un mecanismo, un algoritmo de carácter determinista. Dados unos axiomas y unas reglas, todos los teoremas se deducirán necesariamente.

Este optimismo formalista se vino abajo cuando se demostró que los sistemas formales axiomáticos eran incompletos. Los trabajos de Turing y Gödel probaron que necesariamente hay verdades matemáticas que carecen de demostración dentro del sistema. Y no hay forma de saber si un algoritmo se parará y nos dará una solución. Los límites de la formalización y la computabilidad aparecieron muy pronto, a principios del siglo XX.

Gregory Chaitin, en su libro 'El número Omega', Tusquets Editores 2015, dice que los sistemas axiomáticos formales parten de una idea estática de la matemática, de ahí su insuficiencia. Esta visión estática, asociada a los intentos de fundamentar toda la matemática desde principios lógicos básicos, no resuelve dos cuestiones muy importantes, tanto para la matemática como para la filosofía: no explica la creatividad ni aborda el concepto de complejidad.

El libro de Chaitin es interesante para matemáticos, informáticos y filósofos. Los filósofos hace tiempo que se preguntaron si es posible captar el orden en la naturaleza, si es que existe. Llega un momento en el que la razón se vuelve sobre sí misma y se pregunta por el criterio racional para distinguir entre orden y caos, o entre orden y aleatoriedad. Los optimistas pensaron que con unos axiomas bien elegidos podíamos deducir todo el orden posible de la matemática, todos sus teoremas. Pero resulta que no es así.

Chaitin expone en el libro otra forma de abordar la incompletitud. La idea de que hay números que no son computables no es nueva: dice que no disponemos de un conjunto finito de instrucciones para calcularlos. El enfoque de Chaitin es original porque utiliza la teoría algorítmica de la información para tratar los límites de la computabilidad. La clave está en definir la complejidad, tan importante hoy en biología y en física, a través del tamaño del programa necesario para computar. ¿Cuál es el programa más pequeño para un resultado dado? Problema muy interesante para los científicos porque de nada sirve un programa que sea igual de extenso que aquello que deseamos calcular. El número Omega viene a demostrar que existe la aleatoriedad o incompresibilidad algorítmica: hay números, objetos, que no pueden generarse por un programa más cortos que ellos mismos.

Las matemáticas deben ser algo más que un sistema axiomático formal. Para que surjan ideas nuevas hay que manejar sistemas dinámicos y experimentales. Gregory Chaitin nos recuerda el papel de la intuición, frente a los mecanismos meramente formales, y el papel de la experiencia en matemáticas, hoy claramente conectada con el uso de ordenadores: programamos, obtenemos resultados y mejoramos el programa.